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Loi de Benford générale

General Benford Law
Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye
p. 5-15

Résumés

La loi dite « de Benford » s’applique à une variable X dont le logarithme a une partie fractionnaire uniforme. Il a été montré qu’elle s’applique approximativement à de nombreuses séries numériques réelles.
Diverses explications ont été avancées, qui s’appuient sur certaines particularités des données utilisées, en lien avec les caractéristiques de la fonction log. Une hypothèse bien plus élémentaire et générale a toutefois été proposée récemment, selon laquelle c’est le caractère régulier et étalé des données qui, seul, entraîne la loi de Benford.
Si cette explication est bonne, la loi de Benford ne dépend pas fondamentalement de l’utilisation de la fonction log . Dans cet article, nous testons la « loi de Benford générale » pour la fonction u selon laquelle la partie fractionnaire de u(X) est uniforme. Des données réelles, des suites mathématiques, et des variables à densité, sont testées pour les fonctions log o log, racine, et  carré (multiplié par pi). Les résultats confirment que la fonction log n’a rien de particulier, et donnent quelques précisions sur l’intérêt et les propriétés des diverses variantes (quand on fixe u) de la loi de Benford générale.

General Benford Law

A variable X satisfies the “Benford law” if log(X) has a uniform distribution modulo 1. This law approximately applies to many experimental or observational data sets.
Many theories have been put forward as explanations for this phenomenon, mostly based on the characteristics of the log function. An elementary new explanation has recently been published, based on the fact that any X whose distribution is “smooth” and “scattered” enough is Benford. The scattering and smoothness of usual data ensures that log(X) is itself smooth and scattered, which in turn implies the Benford characteristic of X.
If this explanation is the good one, the Benford law should not depend on the log function itself. In this paper, we define and test a “General Benford Law” for a function u. X satisfies this law if u(X) is uniform modulo 1. Statistical data, mathematical series and continuous variables are tested for functions log(log), square, square root. The results suggest that the Benford law for function log is not pathological, and that other functions also apply to natural data. We discuss possible interests and properties of this general Benford law.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye, « Loi de Benford générale », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 186 | Été 2009, mis en ligne le 15 octobre 2009, consulté le 21 août 2017. URL : http://msh.revues.org/11034

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Auteurs

Jean-Paul Delahaye

Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Lille (LIFL), UMR USTL/CNRS 8022, Université des sciences et technologie de Lille, Bât. M3. 59655 Villeneuve-d’Ascq Cedex, jean-paul.delahaye@lifl.fr

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Nicolas Gauvrit

Équipe de didactique des mathématiques (DIDIREM), EA 1547, Université de Paris VII, Centre Chevaleret, 175, rue du Chevaleret 75013 Paris, adems@free.fr

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Droits d’auteur

© École des hautes études en sciences sociales

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