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La critique de la théorie des ensembles dans la dissertation de Brouwer (1907)

The criticism of set theory in Brouwer’s dissertation (1907)
Michel Bourdeau

Résumés

The criticism of set theory in Brouwer’s dissertation (1907)

Although Brouwer had not developed intuitionistic mathematics by 1917, some of his main ideas are already to be found in his 1907 Dissertation, for instance his attitude towards set theory. We are invited to distinguish two aspects in Cantor's creation: the authentic mathematical contribution (topology, ordinals), and a spurious one, which leads to contradictions and reflects an excessive confidence in the power of logic. Consequently, the transfinite has two faces: the hierarchy of the alephs, and the ordinals. Brouwer agrees with the latter, not with the former. This explains also why the Continuum Hypothesis is discussed in two different places: the mathematical version in the first chapter, the logical one in the third chapter. In the latter, Brouwer accepts the two generating principles for ordinals, but he thinks that these provide no ground for taking the second class of numbers as a completed totality.

S'il faudra attendre 1917 pour que Brouwer développe une mathématique distincte des mathématiques classiques, certains des thèmes caractéristiques de l'intuitionnisme, comme l'attachement à une intuition de type kantien ou l'idée que le continu est une donnée irréductible, apparaissent dès la Dissertation de 1907. C'est le cas en particulier de l'attitude à l'égard de la création cantorienne, où il convient, nous dit-on, de distinguer deux aspects : les acquis proprement mathématiques (topologie, ordinaux), qu'il s'agit de sauvegarder, une confiance excessive dans les pouvoirs de la logique, qui est responsable des contradictions. Le transfini se présente ainsi sous deux formes : la théorie des puissances, les ordinaux. Brouwer accepte celle-ci mais non celle-là. La même attitude explique encore que l'hypothèse du continu soit examinée en deux endroits différents : dans la première partie, pour sa version proprement mathématique, dans la troisième, pour sa version logique. Dans ce dernier cas, Brouwer admet les deux principes de construction des ordinaux, mais estime que cela n'autorise pas à considérer la seconde classe de nombres comme une totalité achevée.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Michel Bourdeau, « La critique de la théorie des ensembles dans la dissertation de Brouwer (1907) », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 164 | Hiver 2003, mis en ligne le 18 février 2006, consulté le 20 août 2017. URL : http://msh.revues.org/2892

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Auteur

Michel Bourdeau

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Droits d’auteur

© École des hautes études en sciences sociales

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